Elon Musk peut-il vraiment faire Paris-New York en 30 minutes?
Par Vincent Pinte Deregnaucourt, CEO de Leonhard Euler Prod - R&D et professeur à l'IPI Paris
Quelques équations en guise de premières réponses…
Il s’agit d’une de ses récentes interventions au «International Astronautical Congress (IAC)» à Adélaïde en Australie en cette fin septembre où des exemples tels que Paris NYC en 30 minutes ou encore 12 000 km en 39 minutes ou encore Paris-Sydney en 50 minutes.
Pour faire Paris-NYC en 30 minutes, on peut toujours imaginer les solutions les plus folles, il reste que la Physique et les Mathématiques, elles, tiennent le cap depuis plusieurs milliers d’années.
Quelles distances, quelles vitesses?
Physiquement, sauf tremblement de terre, d’une valeur que l’échelle de Richter ne connait pas encore, qui rapprocherait Paris de NYC d’un ordre de grandeur au moins, pour l’instant, la distance entre la Pomme et la Ville Lumières est de 5838 km. Cinq mille huit cent trente huit kilomètres. Ce n’est pas pifométrique, ce sont les mathématiques qui ont pris le relais, avec la formule d’Haversine qui permet de calculer les distances à vol d’oiseaux sur une sphère.
Pour faire ces 5838 km en 30 minutes, il faut une vitesse moyenne de 11 576 km/h. Et avant d’obtenir cette vitesse moyenne, il faut aussi atteindre une vitesse qui est exactement le double si l’accélération est linéaire, c’est-à-dire la plus souple possible, c’est-à-dire que le trajet consisterait en une accélération continue de 15 minutes, puis, pendant les autres 15 minutes, le trajet serait la décélération équivalente.
Il faut donc atteindre 23 352 km/h en 15 minutes.
Quelles contraintes?
Cette vitesse implique une (très) haute atmosphère. La résistance à l’air évolue comme le carré de la vitesse. A cette vitesse, en basse atmosphère, entre les forces de frottements, la chaleur qu’elles dégageraient contre le nez de la coque et surtout, l’énergie qu’il faudrait déployer pour faire voler un engin quelconque à cette vitesse avec de telles résistances, tout cela nécessite d’aller rejoindre la haute atmosphère où les particules sont rares, probablement vers 1000 km d’altitude. Cela rallonge d’autant le trajet mais surtout, cela augmente encore la vitesse: si le trajet fait désormais 7500 km et non plus 5838, ce n’est plus 23 352 km/h qu’il faut atteindre, mais 30 000! C’est 30% de plus. Mais toujours dans le même temps: pas de bol, l’accélération est proportionnelle à la distance: plus vous devez faire un trajet long pour un même temps de parcours au final, plus vous avez besoin d’accélérer fort.
Pour connaitre l’accélération qui permet de faire la moitié de 5838 ou de 7500 en une accélération a telle que cette distance est couverte en 15 minutes, nous pouvons utiliser la formule d = 1/2 at² et ainsi trouver que a = 2d / t² avec aen m/s², d en mètres et t en secondes.
Ainsi pour 5838 km, nous avons a = [ 2 * (5 838 000)/2 ] / (900 * 900) = 7,2
C’est-à-dire que dans le cas «ras du sol», chaque seconde, la vitesse augmente de 7,2m/s par rapport à la vitesse de la seconde précédente. 7,2 n’est pas un chiffre anodin: c’est environ 75% de la valeur de la gravité terrestre, valeur connue comme 9,81 m/s/s. Cela signifie que pendant les 30 minutes que dure votre voyage, votre poids va augmenter de 75%: vous aurez 100% de votre poids du fait de la gravité terrestre et 75% en plus du fait de l’accélaration verticale.
– Si vous faites 55 kg, vous aurez l’équivalent de 41 kg de plus, et si vous faites 75 ou 95kg, vous aurez respectivement 56 et 71 kg de plus!
Pour le cas le plus probable où le trajet ferait 7500 km, l’accélération est de 9,26 m/s/s, soit 95% environ de la gravité terrestre en supplément.
Ainsi, si vous faites 55, 75 ou 95 kg, cette fois ci vous aurez à supporter 52, 71 ou 90 kg de plus: en gros, deux fois votre propre poids. Et pendant 30 min, sans aucun échappatoire possible.
Si l’on prend l’exemple du Paris-Sydney qui est en fait pire en terme de ration distance/temps, les calculs donnent les solutions suivantes:
Pour un Paris-Sydney en 50 minutes, soit 19 000 km (en prenant en compte la haute altitude), là, nous avons carrément une accélération de 11,7 m/s/s soit 20% de plus que la gravitation terrestre (à prendre toujours en compte en plus évidemment).
Si vous faites 55, 75 ou 95 kg, cette fois, il vous faut supporter un surpoids de 66, 90 ou encore 114 kg: vous pesez donc au total: 121 pour 55, 165 pour 75 et près de 220 kg pour les 95 initiaux.
Imaginez-vous, de bonne corpulence, et passez 30 minutes assis dans un fauteuil, avec 65 kg sur les genoux et 50 kg sur les épaules.
Clairement, un Paris-Sydney en 50 minutes est tout simplement impossible et l’annoncer avec autant d’assurance est parfaitement grotesque.
D’autres stratégies d’accélération?
Alors évidemment, on peut essayer de voyager autrement ou de faire une pause au milieu. Mais le prix est tout de suite cher: si nous reprenons notre Paris-NYC en 7500 km, il est possible d’accélérer un peu moins longtemps pour profiter d’une partie du vol sans accélération.
Si on prend une accélération de 12 minutes au lieu de 15 minutes, permettant ainsi 6 minutes de pause avant la décélération, vous prenez cette fois-ci 1g supplémentaire au lieu de 0,95g comme calculé initialement. La vitesse max est alors de 25 700 km/h au lieu des 30 000. Sur les 3750 premiers kilomètres, l’accélération concerne cette fois ci 2 550 km et le vol à vitesse constante se fait sur les 2 400 km suivant pendant 6 minutes. Puis, il reste 12 minutes de décélération à 1g (avec toujours en plus 1g de gravitation…): votre poids double.
On peut même essayer de penser qu’au début, l’accélération sera faible car à force de poussée constante la fusée est évidemment très lourde de sa charge de carburant. Et que sur la deuxième partie de l’accélération, la poussée sera beaucoup plus forte.
Essayons de regarder ce qu’il se passe sur notre Paris-NYC où la deuxième partie de l’accélération est exactement deux fois celle initiale (puisqu’à vitesse d’éjection équivalente, de l’ordre de 4000m/s, il y aura beaucoup moins de poids): dans un premier temps, il y aura une accélération de 0,75 g pendant 7min30. Cela va donner une vitesse de 3 300 m/s soit 12 000 km/h. Cela permettra de couvrir les 750 premiers kilomètres. Clairement, à ce stade, c’est mieux. Sauf que: sur la seconde partie du parcours (en temps), il restera à couvrir 3000 km en accélérant à 1,5g. La vitesse grimpera jusqu’à 9 950 m/s (36 000 km/h) et les kilomètres avant la décélération seront avalés en 7min30 toujours, à la vitesse moyenne de 24 000 km/h.
Reste que de fait, 1,5g d’accélération pendant 7min30, c’est 2,5 fois votre poids. C’est donc un résultat tout à fait médiocre.
A noter que même si les calculs sont justes (souvent arrondis pour un confort de lecture) il y a certaines approximations qui ne changent pas fondamentalement le principe. Par exemple, pendant le temps du voyage en haute atmosphère, la gravité terrestre est moins forte: à 1000 km d’altitude, elle n’est pas de 9,81 mais de 7,33 m/s/s. Reste que quelle que soit la position de voyage, soit vous aurez un poids qui aura pris 30 à 150% pendant 30 à 50 minutes minimum, soit vous aurez à gérer deux accélérations selon deux axes, simultanément. Ce qui n’est pas mieux.
Il n’y a pas que l’accélération dans la vie
Evidemment, tous ces calculs essaient de démontrer l’inconfort total d’un Paris NYC en 30 minutes: dans tous les cas, vous avez au moins votre poids qui double.
Mais nous pourrions aussi parler de l’aspect purement économique. De l’aspect écologique mais aussi des inconvénients purement locaux et ponctuels: une fusée de la sorte qui emmènerait plusieurs (dizaines de?) passagers fait un bruit au décollage qui est infernal même à plusieurs kilomètres.
A NYC, le fait de mettre une barge de décollage oblige cette dernière à être placée 50 kilomètres au moins de la rive: quid du temps de transport? Des bateaux dans la Zone? De la météo pour la stabilité de la barge?
A Paris, comme il n’y a pas la mer, je serais personnellement curieux de savoir où l’on peut trouver un disque de 50 km de diamètre minimum qui soit sans résident, sans faune ou flore classée etc. Et quand bien même, il resterait le temps de transit jusque Paris. On aurait alors ce magnifique paradoxe offert par Elon Musk: NYC → Paris en 30 minutes puis aérocosmodrome → Paris centre en 3h.
Pourvu que ce ne soit pas en plus une journée sans voiture!
L’article a initialement été publié sur Medium.
Le contributeur :
Vincent Pinte Deregnaucourt est le CEO de Leonhard Euler Prod – R&D et est professeur à l’IPI Paris.
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Très bien dit, mais juste pour répondre aux dernières objections :
« A NYC, le fait de mettre une barge de décollage oblige cette dernière à être placée 50 kilomètres au moins de la rive: quid du temps de transport? » hyperloop par exemple, à disons 1000km/h, soit 50km en 3 minutes, disons 10min pr prendre en compte le temps passé à accélérer et décélérer.
« De la météo pour la stabilité de la barge? » Moyennant une surface suffisante et une partie engloutie suffisamment profondément et massive, on peut obtenir la stabilité recherchée quel que soit la météo. Mais ça ne répond pas au pb de la météo plus largement sur le vol de la fusée, un vrai inconvénient, en plus de ceux cités…
la fusée va faire 9m de diamètre, 106m de haut : vous imaginez l’infrastructure pour faire tenir droit un truc pareil avec 80 km/h de vent en rafale, avec les containers à coté et les millions de litres d’hydrogène liquide ? Vous avez déjà vu l’immensité des installations de Kourou ? Et on ferait désormais tenir cela sur une plaque en mer de 15m par 15m ?
Quant à aller sur la barge en hyper loop (avec le tunnel dans la mer à 1000 km/h ????), il faut passer de 0 à 1000 km/h en 25 km puis décélerer : ça ne fait que 500 km/h de moyenne.